Спектр сигнала как построить

Спектральное представление сигналов

Любой сигнал можно разложить на составляющие. Такое разложение сигнала называется спектральным. При этом сигнал можно представить в виде графика зависимости параметров сигнала от частоты, такая диаграмма называется спектральной или спектром сигнала.

Спектр сигнала — это совокупность простых составляющих сигнала с определенными амплитудами, частотами и начальными фазами.
Между спектром сигнала и его формой существует жесткая взаимосвязь: изменение формы сигнала приводит к изменению его спектра и наоборот, любое изменение спектра сигнала приводит к изменению его формы. Это важно запомнить, поскольку при передаче сигналов в системе передачи, они подвергаются преобразованиям, а значит, происходит преобразование их спектров.

Различают два вида спектральных диаграмм:
— спектральная диаграмма амплитуд;
— спектральная диаграмма фаз.

В спектральной диаграмме амплитуд — отображаются все составляющие со своими амплитудами и частотами.
В спектральной диаграмме фаз — отображаются все составляющие со своими начальными фазами и частотами.
Любой сигнал имеет одну спектральную диаграмму амплитуд и одну спектральную диаграмму фаз, в составе которых может содержаться множество составляющих.

Не зависимо от того, какой спектр (амплитуд или фаз), он изображается в виде множества линий — составляющих. В спектре амплитуд высота спектральной линии равна амплитуде составляющей сигнала, а в спектре фаз — начальной фазе составляющей. Причем: в спектре амплитуд все составляющие имеют положительные значения, а в спектре фаз как положительные, так и отрицательные. Если амплитуда спектральной составляющей имеет отрицательный знак, то в спектре амплитуд она берется по модулю, а в спектре фаз знак составляющей изменяется на противоположный.

Классификация спектров сигналов.
1. По виду спектры бывают дискретными (линейчатыми) или сплошными.
Дискретным является спектр, у которого можно выделить отдельные составляющие.
Сплошным является спектр, у которого нельзя выделить отдельные составляющие, так как они расположены настолько близко, что сливаются друг с другом.
2. По диапазону частот различают спектры ограниченные и неограниченные.
Ограниченным является спектр, у которого вся энергия сигнала (все спектральные составляющие) находятся в ограниченном диапазоне частот (fmax ? ?).
Неограниченным является спектр, у которого вся энергия сигнала находится в неограниченном диапазоне частот (fmax ? ?). На практике такие спектры ограничивают.

Спектральное представление периодических сигналов

1. Гармоническое колебание.
Математическая модель гармонического колебания имеет вид:

u(t)=Ums sin (?st+?s) (11)

Как видно из математической модели, в спектре данного колебания присутствует одна гармоническая составляющая, которая находится на частоте ?s. Высота составляющей в спектре амплитуд равна амплитуде колебания Ums, а в спектре фаз — начальной фазе колебания ?s. Причем при построении спектра необходимо учитывать связь между временной диаграммой сигнала и спектром амплитуд. Амплитуда составляющей спектра должна по высоте соответствовать амплитуде колебания на временной диаграмме.
Необходимо отметить, что при увеличении частоты сигнала, его составляющая будет удаляться по оси частот от нуля (рисунок 13).

Рисунок 13 — Спектральное представление гармонических колебаний

Как видно из рисунков, спектр гармонического колебания является дискретным и ограниченным.
2. Периодические, негармонические сигналы.
Основной особенностью спектрального представления таких сигналов является наличие в их спектре множества спектральных составляющих. Такие сигналы могут быть описаны рядом Фурье, согласно которому:
т. е. сигнал может быть представлен суммой постоянной составляющей и множества гармонических составляющих.

Преобразуем данный ряд, используя тригонометрическое свойство

sin(x+y) = sin x cos y + cos x sin y (13)

Полагая что x=?k и y=k?ct получим:

Поскольку Umk и ?k являются параметрами ряда, то их можно обозначить коэффициентами

Umk sin ? k = ak; Umk cos ?k = bk (15)

Тогда ряд примет вид:

Параметры ряда можно определить через коэффициенты ak и bk:

где k=1, 2, 3 …

Амплитуда постоянной составляющей и коэффициенты могут быть определены через значение сигнала u(t):

Из ряда следует, что если описываемый сигнал является четной функцией f(t)=f(-t), то ряд будет иметь только косинусоидальные составляющие, так как bk=0, если нечетная функция (f(t) ? f(-t)), то рад содержит только синусоидальные составляющие (ak=0).
Рассмотрим спектральное представление периодических, негармонических сигналов на примере периодической последовательности прямоугольных импульсов (ПППИ).
При построении спектра необходимо рассчитать следующие параметры:
а) скважность сигнала:

б) значение постоянной составляющей:

в) частоту первой гармоники спектра, которая равна частоте сигнала:

г) амплитуды гармонических составляющих спектра:

При построении спектра необходимо отметить следующие особенности:
1. Все гармонические составляющие находятся на частотах, кратных частоте первой гармоники (2?1, 3?1, 4?1 и т. д.);
2. Для спектра амплитуд:
а) спектр ПППИ имеет лепестковый характер, т. е. в спектре можно выделить множество «лепестков»;
б) количество гармонических составляющих в лепестке зависит от скважности и равно q — 1;
в) амплитуды гармонических составляющих, находящихся на частотах, кратных скважности, равны нулю;
г) форма спектра обозначается огибающей — пунктирной линией, плавно соединяющей вершины гармонических составляющих;
д) точка, из которой исходит огибающая, равна 2U0 или 2I0.
3. Для спектра фаз:
а) все гармонические составляющие, на частотах, не кратных скважности, имеют одинаковую высоту, равную ?/2 (90°);
б) все гармонические составляющие в одном лепестке имеют одинаковый знак, а в соседних противоположный.
в) составляющие на частотах кратных скважности имеют начальную фазу равную нулю.
Спектры ПППИ при скважности q=3 представлены на рисунке 14.
Как видно из диаграмм спектр ПППИ является дискретным и неограниченным. Поэтому за ширину спектра принимают диапазон частот, в пределах которого находится два первых лепестка, т. к. в них содержится около 95% энергии сигнала:

Рисунок 14 — Спектральное представление ПППИ: а) временная диаграмма; б) спектральная диаграмма амплитуд; в) спектральная диаграмма фаз

Как видно из формулы ширина спектра ПППИ зависит только от длительности импульса и не зависит от его периода.
3. Непериодические сигналы.
Поскольку в непериодических сигналах нельзя выделить период, т. к. Т. то рассчитать и построить спектр тем же методом, что и для периодических сигналов нельзя. Однако знать спектр таких сигналов необходимо, т. к. все информационные сигналы являются непериодическими. Для построения спектра непериодического сигнала производят следующую процедуру: сигнал мысленно представляют как периодический с произвольным периодом, ддля которого строят спектр. Затем осуществляют предельный переход устремляя период к бесконечности (Т??) (рисунок 15). При этом частота первой гармоники и, соответственно, расстояние между гармоническими составляющими стремится к нулю (f1=1/Т), поэтому все составляющие сливаются друг с другом и образуют сплошной спектр.

Рисунок 15 — Импульсный сигнал u(t) и его представление периодическим сигналом

Форма спектра непериодических сигналов обозначается огибающей (сплошной линией) (рисунок 16).

Рисунок 16 — Спектральная диаграмма непериодического сигнала

Ряд Фурье, для таких сигналов, также нельзя записать, т. к. в этом случае амплитуда постоянной составляющей и коэффициенты ak и bk равны нулю. В этом случае значение сигнала в любой момент времени также равно нулю, что является не верным. Поэтому для таких сигналов используют преобразования Фурье:

Выражение (27) является обратным преобразованием, а (28) прямым преобразованием Фурье.
Величина S(?) является комплексной спектральной плотностью непериодического сигнала u(t). Она равна:

где S(?) спектральная плотность амплитуд или амплитудный спектр непериодического сигнала, а ?(?) — фазовый спектр непериодического сигнала.
Спектральная плотность амплитуд непериодического сигнала на любой частоте ? равна суммарной амплитуде составляющих находящихся в малой полосе ?? в окрестностях частоты ? пересчитанных на 1 Герц.
Временные диаграммы и спектральные плотности амплитуд для прямоугольного и треугольного импульсов представлены на рисунке 18:

Рисунок 18 — Спектральное представление непериодических сигналов: а) прямоугольный импульс; б) треугольный импульс

Спектр сигнала как построить

Введение в спектральный анализ сигналов

Кроме естественного представления сигналов во временной области в анализе сигналов и систем широко используется частотное представление. Задачу представления сигналов в частотной области называют также спектральным анализом, гармоническим анализом, частотным анализом, или Фурье-анализом. Многие физические процессы описываются в виде суммы индивидуальных частотных составляющих. Понятие спектра широко используется в представлении звуков, радио и телевещании, в физике света, в обработке любых сигналов независимо от физической природы их возникновения. На нем базируется исключительно эффективный и очень простой в использовании частотный метод анализа линейных систем.

Начала спектрального анализа заложены в 18–м веке в работах Бернулли, Эйлера, Гаусса. Основные результаты получены французскими учеными Ж. Фурье (1768 – 1830 г .г.) и П. Дирихле (1805 – 1859 г .г.) в 19-м столетии. Как самостоятельная прикладная область спектральный анализ сформировался во второй половине 20-го века.

Спектральный анализ основывается на классических рядах Фурье и преобразовании Фурье. Ряды Фурье используются для периодических сигналов и сигналов, заданных на конечном интервале времени . В последнем случае сигнал может быть периодически продолжен с периодом .

Преобразование Фурье применяется для непериодических сигналов, заданных на всей временной оси .

Основная задача спектрального анализа заключается в определении частотного спектра сигнала (функции). Любой сигнал может быть представлен своим частотным спектром.

Обычное гармоническое колебание (гармонический сигнал)

характеризуется: 1. амплитудой A > 0 , 2. частотой , 3. начальной фазой .

Параметры дают полное описание гармонического сигнала в частотной области в виде спектра, представляющего значение амплитуды и начальной фазы в зависимости от частоты гармоники f . Задавая эти параметры, можно определить гармонический сигнал двумя способами:

§ Как косинусоидальное колебание с амплитудой А, частотой f ₀ и фазой θ,

§ Как сумму двух комплексных экспонент (гармоник), каждая с амплитудой . При этом одна составляющая имеет частоту и фазу , другая – отрицательную частоту и отрицательную фазу .

Оба представления дают одинаковый результат, но во многих случаях комплексная форма оказывается более эффективной для инженерных задач.

Комплексный ряд Фурье

Сигнал x ( t ) является периодическим, если он точно повторяет свои значения через интервал времени, называемый периодом Т, т.е. .

. Примеры периодических сигналов разной формы с периодом Т = 0,2 с

Реальные периодические сигналы могут быть разложены в ряд Фурье, т.е. представлены в виде суммы гармоник кратных частот. Такое представление и играет исключительно важную роль во многих практических приложениях: электроника, связь, обработка сигналов, акустика, музыка и др.

Теорема математического анализа.

Любой конечный периодический сигнал (функция) x ( t ), определенный для всех действительных t или на конечном интервале времени , можно представить рядом Фурье. Эта теорема (теорема Дирихле) строго доказывается в математическом анализе. В данном курсе доказательство опускается, используется лишь окончательный результат теоремы.

Комплексная (экспоненциальная) форма ряда Фурье

— выражение синтеза сигнала

— основная частота, — основная угловая частота.

При этом коэффициенты комплексного ряда Фурье определяются по выражению

— выражение анализа сигнала.

Пределы интегрирования могут быть заменены на любой интервал длительностью период (Т), например, от 0 до Т или от –Т/2 до Т/2 и т.п. Коэффициенты Фурье полностью определяют сигнал x ( t ) в частотной области.

В математическом анализе доказывается, что если периодическая функция x ( t ) (сигнал) удовлетворяет условиям Дирихле, то её ряд Фурье сходится к самой функции в точках непрерывности функции и к полусумме в точках разрыва,

Условия Дирихле: 1. Функция x ( t ) абсолютно сходится в пределах периода, т.е. ,

2. x ( t ) на интервале Т имеет конечное число максимумов/минимумов и разрывов первого рода.

Любой реальный сигнал удовлетворяет условиям Дирихле.

1. На конечном временном интервале x (t ) должна иметь конечное число максимумов и минимумов и конечное число разрывов первого рода.

Применим формулу Эйлера в выражении для X_k , тогда

В общем случае коэффициенты Фурье X_k являются комплексными числами, т.е.

, где , — модуль коэффициента — аргумент (фаза) X _k .

Поскольку в выражении X _k косинус является четной функцией значения k , а синус – нечетной, то Фурье – коэффициенты для действительного сигнала x ( t ) обладают следующими свойствами симметрии

Здесь используется тот факт, что произведение нечетных функций дает четную функцию, а частное четной и нечетной функции – нечетную функцию.

Следовательно, исходя из соответствующей симметрии спектров– четной или нечетной, достаточно рассматривать амплитуды и фазы гармоник только для положительных частот ω _k = kω ₀ (положительные значения k ). Для отрицательных частот спектры всегда могут быть получены из соображений четной или нечетной симметрии.

Тригонометрические формы ряда Фурье

Для действительных периодических сигналов чаще используются тригонометрические формы ряда Фурье, как более простые для вычислений

Тригонометрические формы можно получить из комплексной с помощью формулы Эйлера и дальнейших преобразований. Покажем это подробнее:

Поскольку , то — это комплексно — сопряженное значение X_k , поэтому предыдущее выражение можно записать в таком виде

Сумма и разность комплексно – сопряженных чисел X_k и X_k * равны соответственно

С учетом этих равенств

Учтем также известное тригонометрическое тождество для косинуса:

При этом предыдущее выражение запишем в виде .

Обозначим . Тогда получаем

— это тригонометрическая форма ряда Фурье.

Если обозначить , то получим другую тригонометрическую форму ряда Фурье , здесь

При этом коэффициенты ряда

Для четных сигналов коэффициенты b_k =0 , т.к. и ряд содержит только косинусы. Для нечетных сигналов a_k =0, поскольку .

В результате упрощается вычисление коэффициентов Фурье. Если сигнал задан на конечном интервале , то его можно периодически продолжить четным или нечетным образом и тем самым достигнуть упрощения разложения в ряд Фурье.

В заключение укажем соответствия между коэффициентами различных форм ряда Фурье:

Амплитудный и фазовый спектры периодического сигнала

Разложение в ряд Фурье является основой спектрального представления периодических сигналов.

Совокупность коэффициентов A_k = A ( kω ₀) или образует амплитудный частотный спектр периодического сигнал. Это зависимость амплитуд гармоник сигнала от частоты. Набор — фазовый спектр, зависимость начальных фаз гармоник от частоты. При этом односторонний спектр имеет составляющие только на частотах двусторонний – на частотах Член ряда с k =0 называется постоянной составляющей (ПС), с k =1 – первой, или основной гармоникой, k =2 – второй гармоникой сигнала и т.д. Обычно спектры для наглядности представляются в виде графиков. В любом случае для периодических сигналов характер спектров — линейчатый.

Общий вид амплитудного спектра. Амплитуды гармоник X_k → 0 при возрастании k .

Частота и номер гармоники связаны очень просто: или

Спектр фаз — нечетная функция аргумента k . Общий вид

Двусторонний фазовый спектр Односторонний фазовый спектр

Ввиду четной/нечетной симметрии спектров для действительных сигналов достаточно отображать только часть спектра, соответствующую положительным частотам, т.е. использовать односторонние спектры.

Примеры определения спектров.

Амплитудный и фазовый спектры прямоугольного периодического сигнала.

Рассмотрим периодическую последовательность прямоугольных импульсов с периодом Т и длительностью τ. Сигналы подобной формы широко используются, например, в цепях компьютеров в качестве информационных, тестовых, синхронизирующих сигналов. Величина называется скважностью импульсной последовательности. Это отношение периода к длительности сигнала. При сигнал называют меандром. Необходимо разложить такой сигнал в ряд Фурье и построить график его амплитудного спектра .

Коэффициенты комплексной формы ряда Фурье ,

Ряд Фурье сигнала в комплексной форме .

График амплитудного спектра | Xk | сигнала для U = 10 В, T = 10 с,τ = 1 c , f₀=1/ T =0,1Гц

Тригонометрический ряд Фурье данного сигнал

Коэффициенты b _k = 0, т.к. сигнал четный (симметричный относительно начала координат).

Коэффициенты a_k

Как показано выше

График амплитудного спектра a_k сигнала для U = 10 В, T = 5 с, τ = 1 c , f₀=1/ T =0,2Гц

Из примера очевидно, что с увеличением периода Т спектр становится более частым, частотный интервал между гармониками уменьшается и при (непериодический сигнал) спектр превращается в сплошной (непрерывный).

Фазовый спектр– нулевой, поскольку сигнал — четный и .

Вид ряда Фурье прямоугольной волны при числе гармоник

Сигнал формируется из непрерывных гармоник. Пульсации (колебания) вблизи точек разрыва объясняются явлением Гиббса, возникающим у сигналов с разрывами при усечении ряда Фурье конечным числом членов k .

Примеры Фурье — анализа и синтеза различных сигналов см. в издании «Методические указания к решению задач и упражнений», с. 50 -70.

T os _Demo → index → Спектральное представление периодических сигналов.

• Задачу представления сигналов (процессов) в частотной области называют спектральным анализом, гармоническим анализом, частотным анализом, или Фурье-анализом. Спектральный анализ широко используется в ряде прикладных областей, в том числе в обработке сигналов.
• Спектральный анализ периодических сигналов основывается на разложении сигнала в ряд Фурье.
• Комплексная форма ряда Фурье
  ,
• Тригонометрические ряды Фурье

· Амплитудный спектр периодического сигнала — это зависимость амплитуд гармоник сигнала A_k = A ( kω ₀) или от частоты или номера гармоники,
фазовый спектр – зависимость начальных фаз гармоник сигнала от частоты или номера гармоники. Гармоники — собственные функции линейных систем.

Спектры полностью определяют сигнал.

1.3. Рассчитать и построить амплитудный и фазный спектры сигнала воздействия.

Всякий периодический сигнал воздействия f(t) – может быть представлен бесконечной суммой синусоид кратных частот – рядом Фурье:

, (12)

Периодическая функция времени обладает свойством повторения формы через минимальный промежуток времени T, называемый периодом функции:

.

Период определяет частоту основной гармоники бесконечной суммы, которой кратны все слагаемые:

.

Коэффициенты ряда (12) определяются по формулам Фурье:

(13)

Объединение синуса и косинуса одной частоты в выражение (12) дает другую форму ряда Фурье:

(14)

где ,.

В теории цепей удобнее использовать комплексную форму ряда Фурье:

(15)

здесь комплексная амплитуда к-й гармоник

;

, (16)

где

С учетом выражений (14) и (15) можно получить выражение (17):

(17)

Вещественность означает, что ряд состоит только из косинусных гармоник, а функция времени является четной.

, (18)

число гармоник на интервале между двумя узлами равно отношению , называемого скважностью импульсов.

На вход ARC — фильтра будем действовать периодическим сигналом прямоугольной формы, имеющего следующие характеристики:

Скважность: S = 3

Амплитуда, В: U = 8

Порядок Фурье: n = 4

Будем исследовать реакцию фильтр при воздействие на него сигнала частотой лежащей в полосе пропускания. Для этого выберем частоту сигнала воздействия , где— резонансная частота данного фильтра. Отсюда частота сигнала воздействияГц.

1.Суммирование функций и построение графика суммы.

Рассмотрим разложение в усеченный ряд Фурье периодической последовательности импульсов со скважностью s и числом слагаемых N:

Для построения графика суммы воспользуемся компьютерной программой MathCAD:

2.Амплитудный спектр воздействия.

Рис. 4 Амплитудный спектр воздействия.

3.Фазный спектр воздействия.

Рис. 5 Фазный спектр воздействия.

1. . Рассчитаем амплитудный и фазный спектры реакции:

В пункте 1.3 были получены амплитудный и фазовый спектры сигнала воздействия. Определим, какова будет реакция исследуемого ARC – фильтра, если на его вход воздействовать периодическим сигналом (см. п.п. 1.3). 1. Амплитудный спектр реакции:Рис. 6 График амплитудного спектра реакции. Из графика видно, что при k=2 наблюдается максимальная пропускная способность фильтра. Это обусловлено тем, что _к где _ частота основной гармоники. 2. Фазный спектр реакции:Рис. 8 Фазный спектр реакции. 1.5. Построим график функции времени реакции цепи на заданное воздействие: По амплитудному и фазному спектрам (см. п.п. 1.3) можно построить соответствующую им функцию времени по формулам (14). Для построения графика функции времени воспользуемся компьютерной программой MathCAD: Рис.9. График функции времени. На Рис. 9 представлены графики сигналов воздействия () и реакции () ARC – фильтра. 1.6. Рассчитаем и построим графики амплитудного и фазного спектров воздействия и реакции, а также временные функции воздействия и реакции с периодом в два раза больше. В п.п. 1.3. – 1.4 мы исследовали реакцию фильтра при воздействие на него периодическим сигналом, частотой , где— резонансная частота данногоARC — фильтра. По условию данного пункта примем частоту сигнала воздействия . График суммы:Рис. 10. График суммы. Амплитудный спектр воздействия.Рис. 4 Амплитудный спектр воздействия. Амплитудный спектр реакции имеет следующий вид: Рис. 11Амплитудный спектр реакции. Фазный спектр воздействия.Рис. 5 Фазный спектр воздействия. Фазный спектр реакции имеет следующий вид: Рис. 12 Фазный спектр реакции Временные функции:Рис .13 График функции времени.

Анализ спектра сигнала

Для анализа спектра произвольного сигнала из осциллограммы необходимо загрузить 2 файла осциллограммы с расширением *.CFG и *.DAT, записанных в формате COMTRADE 1991 или COMTRADE 1999, и нажать кнопку «Далее».

Затем необходимо выбрать необходимый сигнал из списка, формируемого автоматически программой из CFG-файла, и задать интервал сигнала из осциллограммы, для которого необходимо построить спектр. По умолчанию программа выставляет диапазон от начала до конца осциллограммы. Частота дискретизации сигнала будет определена автоматически из файлов осциллограммы (рис. 1). Нажать кнопку «Рассчитать».

Рис. 1. Выбор сигнала из осциллограммы

На экран будут выведены 2 графика. На верхнем графике будет отображён рассматриваемый сигнал (рис. 2). На нижнем графике будет отображён амплитудный спектр рассматриваемого сигнала (рис. 3). Спектр строится до частоты Найквиста, равной половине частоты дискретизации наблюдаемого сигнала.

Рис. 2. Рассматриваемый сигнал из осциллограммы

Рис. 3. Амплитудный спектр сигнала

При необходимости расширения или сужения интервала рассматриваемого сигнала задайте требуемый интервал и заново нажмите кнопку «Рассчитать». Спектр изменённого сигнала будет перестроен.

Инструменты для анализа

Для каждого графика доступны инструменты для анализа: увеличение/уменьшение графика, отображение мгновенных значений, перемещение по графику. Полученные результаты можно экспортировать в рисунок в формате png.