Что такое таблица истинности

Таблица истинности

Таблица истинности — это таблица, описывающая логическую функцию.

Под «логической функцией» в данном случае понимается функция, у которой значения переменных (параметров функции) и значение самой функции выражают логическую истинность. Например, в двузначной логике они могут принимать значения «истина» либо «ложь» ( либо , либо ).

Табличное задание функций встречается не только в логике, но для логических функций таблицы оказались особенно удобными, и с начала XX века за ними закрепилось это специальное название. Особенно часто таблицы истинности применяются в булевой алгебре и в аналогичных системах многозначной логики.

Таблицы истинности для основных двоичных логических функций

Таблицы истинности для некоторых троичных логических функций

x	2	1	0	2	1	0	2	1	0
y	2	2	2	1	1	1	0	0	0
Минимум	2	1	0	1	1	0	0	0	0

x	2	1	0	2	1	0	2	1	0
y	2	2	2	1	1	1	0	0	0
Максимум Минус.	2	2	2	2	1	1	2	1	0

Что такое таблица истинности

Истинность составных высказываний, образованных в результате выполнения каких-либо логических операций над простыми высказываниями, зависит только от истинности исходных высказываний. Чаще всего для установления значений сложных высказываний используют таблицы истинности.

Таблица истинности — это таблица, устанавливающая соответствие между всеми возможными наборами логических переменных, входящих в логическую функцию, и значениями функции.

Рассмотрим построение таблиц истинности на примере операций, рассмотренных в предыдущем разделе. Начнем с унарной операции отрицания &#256. Поскольку операция выполняется над одним операндом (A), принимающим всего два значения ( 1-истина; 0-ложь), таблица будет иметь три строки и два столбца. В заголовке таблицы укажем высказывание A и результат отрицания &#256, как показано на рисунке.

Далее в первом столбце разместим все возможные значения высказывания A, а во втором — значения логической функции &#256, как показано на рисунке.

Приведем таблицу истинности логического умножения (конъюнкции).

A	B	A Λ B
0	0	0
0	1	0
1	0	0
1	1	1

Заметим, что составное высказывание A &#923 B истинно только в том случае, когда истинны ода высказывания и A, и B.

Таблица истинности логического сложения приведена на следующем рисунке.

A	B	A V B
0	0	0
0	1	1
1	0	1
1	1	1

Составное высказывание A V B ложно лишь в случае, когда оба операнда ложны.

Таблица истинности импликации, выглядит следующим образом.

A	B	A -&#155 B
0	0	1
0	1	1
1	0	0
1	1	1

Составное высказывание A -&#155 B ложно лишь в случае, когда ложь имплицируется истиной. Таблица истинности эквивалентности представлена на следующем рисунке.

A	B	A ~ B
0	0	1
0	1	0
1	0	0
1	1	1

Составное высказывание A ~ B истинно в том случае, когда значения операндов совпадают. Полезно иметь под рукой сводную таблицу истинности.

Сводная таблица истинности

Заметим, что таблицы истинности находят широкое применение для

Два сложных высказывания называют эквивалентными , если совпадают их таблицы истинности.

Высказывания, истинность которых постоянна и не зависит от истинности входящих в них простых высказываний, а определяется только их структурой, называются тождественными или тавтологиями. Различают тождественно-истинные и тождественно-ложные высказывания.

Таблица истинности

Таблица истинности — это таблица, описывающая логическую функцию, а именно отражающую все значения функции при всех возможных значениях её аргументов.

Таблица истинности необходима для совершения логических операций. Она включает в себя n+1 столбцы и 2 n строки, где n — число используемых переменных. В первых n столбцах представлены разные значения аргументов функции, а в n+1 столбце представлены значения функции, которые она принимает на данном наборе аргументов.

Набором называется совокупность значений переменных. А = 0, В = 1. В случае, когда количество переменных n, число различных наборов будет равно 2 N . Например, для трех переменных число разных наборов будет равно 2 3 = 8.

Осторожно! Если преподаватель обнаружит плагиат в работе, не избежать крупных проблем (вплоть до отчисления). Если нет возможности написать самому, закажите тут.

Для создания таблиц истинности используются обозначения логических значений 0 (ложь) и 1 (истина).

Можно встретить вариацию таблицы, в которой число столбцов равно n + число используемых логических операций. В подобной таблице в первые n столбцы, так же как и в первом варианте, вписаны наборы аргументов, а остальные столбцы заполнены значениями подфункций, которые входят в запись функции. Благодаря этим промежуточным вычислениям, упрощается расчет конечного значения функции.

Применение таблиц истинности чаще всего встречается в булевой алгебре и в цифровой электронной технике для описания работы логических схем.

Логические операции

Определение

Логические операции — построение из одного или нескольких высказываний нового высказывания.

Результатом может являться не только образование нового высказывания, но и изменение содержания или объема уже данных высказываний. В случае логической операции истинность значения нового высказывания всецело определяется истинностью значения исходных высказываний.

К логическим операциям относятся конъюнкция, дизъюнкция, импликация, разделительная дизъюнкция, эквиваленция, антиконъюнкция, антидизъюнкция.

Логические выражения

Определение

Логическое выражение — это запись, принимающая логическое значение «истина» или «ложь».

Их можно разделить на два типа:

• выражения, использующие операции сравнения и принимающие логические значения. Например, выражение a < b, где a = 12, а b = 9, равно значению «ложь»;
• логические выражения, которые связаны с логическими величинами и операциями. Например, A ∨ В ∧ С, где А = истина, B = ложь и C = истина.

В логические выражения могут входить функции, алгебраические операции, операции сравнения и логические операции. Для таких случаев существует алгоритм выполнения действий. За исключением тех случаев, когда в логическом выражении присутствуют скобки, влияющие на порядок выполнения операций.

• вычисляется существующие функциональные зависимости;
• вычисляются алгебраические операции в обычном порядке;
• вычисляются операции сравнения в любом порядке;
• вычисляются логические операции начиная с операции отрицания. Следом вычисляется операция логического умножения, логического сложения, в последнюю очередь выполняются операции импликации и эквивалентности.

Инверсия

Определение

Инверсия или логическое отрицание — это логическая операция, при выполнении которой из данного высказывания получается новое высказывание. Это высказывание является отрицанием исходного высказывания.

Унарной в данном случае называется операция, которая используется относительно одной величины.

Конъюнкция

Определение

Конъюнкция — это логическое умножение. Эта операция, для которой требуются два и более логических величины. Конъюнкция соединяет логические высказывания при помощи связки «и». Связка изображается символом ∧.

Конъюнкция может быть истинной только в том случае, если оба высказывания истинны. Например, A ∧ B, если A = ложь, а B = истина, является ложным.

Дизъюнкция

Определение

Дизъюнкция — логическое сложение. Эта логическая операция соединяет два и более высказываний с помощью связки «или». Эта связка обозначается как ∨.

Логическое высказывание будет истинным, если истинно хотя бы одно из условий. Например, A ∨ B истинно, даже если А = истина, а В = ложь. Высказывание будет ложным только в том случае, если ложны и А, и В.

Правила составления таблицы истинности

Таблицу истинности можно построить для любого логического выражения. В этой таблице будут отражены все значения, которые принимает выражение при всех наборах значений входящих в него переменных.

Строить таблицы истинности необходимо по следующему алгоритму:

1. Вычислить число переменных в выражении (n).
2. Вычислить общее количество логических операций в выражении.
3. Определить последовательность, в которой будут выполняться логические операции.
4. Установить количество столбцов в таблице — количество переменных и количество операций.
5. Внести в шапку таблицы переменные и операции, соблюдая последовательность, определенную в пункте 3.
6. Высчитать количество строк в таблице, используя формулу m = 2 n
7. Занести в таблицу наборы входных переменных. Они представляют собой целый ряд n-разрядных двоичных чисел от 0 до 2 n −1.
8. Заполнить таблицу, совершая логические операции.

Примеры построения таблицы истинности

Задача

Построим таблицу истинности и решим выражение \( F = (A \vee B) \wedge (¬A \vee ¬B)\) . Будем пользоваться приведенным выше алгоритмом.

1. Число переменных в выражении n = 2.
2. Общее количество логических операций в выражении — 5.
3. Последовательность выполнения логических операций — 1, 5, 2, 4, 3.
4. Количество столбцов — 7. Логические переменные (А и В) + логические операции \(\vee\) , \(\wedge\) , \(¬\) , \(\vee\) , \(¬\) = 2 +5 = 7.
5. Количество строк — 5, исходя из m =2 n , таким образом 2 2 = 4, 4+1 (строка заголовков столбцов) = 5.
6. Заполним таблицу.

Решение

А	В	\(А \vee В\)	¬А	¬В	\(¬А \vee ¬В\)	\((A \vee B) \wedge (¬A \vee ¬B)\)
0	0	0	1	1	1	0
0	1	1	1	0	1	1
1	0	1	0	1	1	1
1	1	1	0	0	0	0

После заполнения таблицы, ответ будет выглядеть следующим образом:

F = 0 при A = B = 0 и A = B = 1

Задача

Построим еще одну таблицу истинности и решим выражение \(F = X \vee Y \wedge ¬Z\)

1. Число переменных в выражении n = 3.
2. Общее количество логических операций в выражении — 3.
3. Последовательность выполнения логических операций — 3, 2, 1.
4. Количество столбцов — 6. Логические переменные (X, Y, Z) + логические операции \( \vee\) , \(\wedge\) , ¬ = 3 + 3 = 6.
5. Количество строк — 9, исходя из m =2 n , таким образом 2 3 = 8, 8+1 (строка заголовков столбцов) = 9.
6. Заполним таблицу.

Решение

X	Y	Z	¬ Z	\(Y \wedge ¬Z\)	\(X \vee Y \wedge ¬Z\)
0	0	0	q	0	0
0	0	1	0	0	0
0	1	0	1	1	1
1	0	0	1	0	1
1	0	1	0	0	1
1	1	0	1	1	1
1	1	1	0	0	1

После заполнения таблицы, ответ будет выглядеть следующим образом:

F = 0, при X = Y = Z = 0; при X = Y = 0 и Z = 1.

Таблицы истинности логических функций и их построение

Логическая функция одно из основополагающих понятий математической логики. Она зависит от логических переменных и принимает значения из множества, от которого находится в зависимости. Логические функции булевых переменных могут принимать только два значения – 1 или 0.

Понятие таблиц истинности

Задаваться логическая функция может числовым способом, словесным описанием, картами Карно, аналитическим выражением и с помощью таблиц истинности. В последнем случае все аргументы функции следует записать в левой части таблицы, а значения, которые им соответствуют, в правой.

Определения 1 — 2

Таблица истинности – это таблица, просто и наглядно показывающая, какие значения будут у логического выражения при всевозможных наборах переменных функции.

Равносильными именуют те логические выражения с совпадающими последними столбцами таблицы истинности. Обозначают равносильные функции знаком «=».

Правила того, как следует проводить построение таблицы истинности

Несоблюдение хотя бы одного из них ведёт к очень грубой ошибке. Вот эти правила:

• Число строк таблицы должно совпадать с числом комбинаций всевозможных n логических переменных, то есть быть равным 2 n ;
• Количество столбцов таблицы должно равняться сумме числа логических переменных и числа логических операций;
• В построенный шаблон таблицы истинности должны вписываться все значения исходных переменных;
• Построение таблицы истинности выражения происходит по её столбцам, при этом обязательно учитываются правила логических операций.

Порядок действий при построении таблицы истинности для логических выражений

Порядок действий при построении таблицы истинности, какой бы ни была логическая функция, следующий:

1. Определить, какое число строк и столбцов будет в будущей таблице. Делается подобное по формулам
   X = n + m, Y = 2 n +1.
   Где n – число переменных, m – чило логических операций.
2. Заполнить самую верхнюю строку таблицы переменными и логическими операциями, идя слева направо. При этом приоритетность логических операций следует учитывать обязательно, иначе получится совсем не то, что нужно;
3. В первых столбцах перечислить всевозможные комбинации входных значений;
4. Выполняя заданные логические операции, заполнить все оставшиеся ячейки;

Ответом следует считать последний заполненный столбец таблицы.

О порядке логических операций

Лучше его представить списком. Логические операции выполняют в следующей последовательности: сначала идёт инверсия, затем конъюнкция, после этого дизъюнкция, после неё импликация, по её выполнении эквиваленция.

После них идут Штрих Шеффера и Стрелка Пирса. Первым может быть выполнено как то, так и другое.

Далее приведём несколько поучительных задач на построение таблиц истинности

Задачи 1 — 3

Сделать построение таблицы истинности для функции ((A→B) ∧ A) ↔ B

1. 1. Определяем сколько будет у нас столбцов. Количество переменных у нас 2, логических операций 4, число столбцов равно сумме 2+4 = 6.
   2. Определяем, сколько будет у на строк. Оно равно 2 n , плюс ещё одна строка для обозначения переменных и логических операций. У нас будет 2 n +1 = 2 2 + 1= 5;
   3. Заполняем первую строку. Прописываем символы переменные и логических операций;
   4. В двух первых столбцах записываем возможные значения переменных;
   5. В далее идущих столбцах записываем, какие значения принимают промежуточные функции;
   6. В самом последнем из столбцов записываем итоговые значения функции.

   В результате всего этого у нас должно получиться:

   

   Провести построение таблицы истинности функции (A ∨ B) ∧ – C

   1. Определяем сколько будет столбцов. Количество переменных у нас 3, количество логических операций 3. Складываем то и другое: 3+3 = 5.
   2. Определяем, количество строк. Оно равно 2n, плюс ещё одна строка для обозначения переменных и логических операций.В итоге будет 2n+1 = 2 3 + 1= 9;
   1. Заполняем первую строку. Прописываем символы переменные и логических операций;
   2. В два первые столбца вносим возможные значения наших переменных;
   3. В далее следующие столбцы записываем, какие значения принимают промежуточные функции;
   4. В последнем столбце записываем итоговые значения функции.

   В итоге получим таблицу:

   

   Сделать таблицу истинности для

   (A ∧ B ↔ B ∧ C) ∨ (C → A)

   Функция посложнее и таблица получится значительно больше, чем предыдущая.

   1. Считаем столбцы. Количество переменных 3, количество логических операций 6. Значит столбцов будет 3+6=9;
   2. Считаем строки. Их количество будет 2 3 +1= 9;
   3. Заполняем первую строку таблицы;
   4. В первых столбцах записываем все допустимые значения наших переменных;
   5. В остающихся столбцах пишем, какие наша функция принимает промежуточные значения
   6. В последний столбец пишем итоговые значения данной нам функции.

   В итоге у нас получается таблица:

   

   Нет времени решать самому?

   Похожие публикации:

   1. Где аккумулятор в бмв х5
   2. Как поставить на учет мотоцикл из белоруссии
   3. Когда яндекс самокаты появятся в московской области
   4. Чем отличается мерседес gl от gls