Как определить передаточную функцию

Передаточная функция

Преобразование дифференциальных уравнений по Лапласу дает возможность ввести удобное понятие передаточной функции, характеризующей динамические свойства системы.Передаточной функцией называется отношение изображения выходного воздействия Y(р) к изображению входного X(р) при нулевых начальных условиях.

Передаточная функция является дробно-рациональной функцией комплексной переменной:

Передаточная функция имеет порядок, который определяется порядком полинома знаменателя (n).
Из формулы (2.6) следует, что изображение выходного сигнала можно найти как

Так как передаточная функция системы полностью определяет ее динамические свойства, то первоначальная задача расчета САР сводится к определению ее передаточной функции.При расчете настроек регуляторов широко используются достаточно простые динамические модели промышленных обьектов управления. В частности, использование моделей инерционных звеньев первого или второго порядка с запаздыванием для расчета настроек регуляторов обеспечивает в большинстве случаев качественную работу реальной системы управления. В зависимости от вида переходной характеристики (кривой разгона) задаются чаще всего одним из трех видов передаточной функции обьекта управления:

1. В виде передаточной функции инерционного звена первого порядка:

где: К — коэффициент усиления,
Т — постоянная времени,
— запаздывание,которые должны быть определены в окрестности номинального режима работы обьекта.

1. Для обьекта управления без самовыравнивания передаточная функция имеет вид:
2. Более точнее динамику обьекта описывает модель второго порядка с запаздыванием:

1. Передаточные функции последовательного и параллельного соединения звеньев.

Под динамическим звеном понимают устройство любого вида и конструктивного оформления, описываемое определенным дифференциальным уравнением или передаточной функцией.



В качестве входного воздействия часто используется единичная ступенчатая функция g ( t )=1( t ), при t

Передаточная функция W( p ) — отношение изображения Лапласа выходной величины к изображению входной величины при нулевых начальных данных.



Передаточная функция последовательного соединения



При последовательном соединении выходная величина каждого звена, кроме последнего, является входной величиной для следующего звена.



Параллельное соединение



При параллельном соединении все звенья имеют одну входную величину, выходные величины суммируются.



2. Передаточная функция замкнутой системы.

Замкнутая система управления — управляющее воздействие формируется с учетом сравнения отклонения y ( t ) от заданного положения. Данное отклонение называется ошибкой САУ, а замкнутая САУ системой с обратной связью.



Виды обратной связи

Обратная связь может быть:

— положительной, если сигнал Х, снимаемый с выхода звена с обратной связью, суммируется с сигналом g ( t ) на входе.

— отрицательной, если Х вычитается.

Если W ос ( p ) =k (где k — коэффициент обратной связи) — то обратная связь жесткая. В установившемся режиме Wос ( p ) не равна 0. Такая связь может действовать и в установившемся режиме, и в переходном.

Если W ос ( p ) =k * p — то обратная связь гибкая. (p-оператор дифференцирования d / dt ). В установившемся режиме Wзамкн ( p ) цепи с обратной связью равна передаточной функции исходной цепи W( p ), т.е. Wос=0.

Передаточная функция замкнутой САУ

Выведем формулу передаточной функции для замкнутой системы:



В качестве входной величины, помимо g ( t ), используется невязка. Невязка – разность между значением функции, вычисленным по результатам измерений, и истинным ее значением, возникающая вследствие неизбежных погрешностей измерений. Ниже представлена схема системы, замкнутой по невязке.



Для системы, замкнутой по E и g передаточная функция выглядит следующим образом:



3. Устойчивость линейных систем (вывод).

Определения

Устойчивость — свойство САУ возвращаться в заданный или близкий к нему установившийся режим после какого-либо воздействия. Установившийся режим характеризуется постоянством внешнего воздействия и других условий работы системы в целом.

Устойчивая САУ — система, переходные процессы в которой являются затухающими. Ее выходная величина остается ограниченной при воздействии на систему ограниченных воздействий.

Устойчивость линейных систем

Общее решение линейного неоднородного уравнения состоит из общего решения соответствующего однородного решения и некоторого частного решения данного неоднородного уравнения.





Таким образом, если САУ устойчива, y переходного процесса ( Y пер ( t )) при будут затухающими.



Находим характеристический паленом, его корни и в зависимости от того, к какому виду они относятся определяем условия, при которых САУ будет устойчивой. Корни могут быть:

1) действительными кратными;

2) действительными и различными;

4) комплексными кратными.

Общее решение y ( t ) будет представлять паленом , умноженный на сумму экспонент с заданными коэффициентами.





В случае комплексных корней, когда , каждой паре комплексно сопряженных корней будет соответствовать следующее составляющая переходного процесса:



Если хотя бы один корень >0, то система неустойчивая.

Система будет находиться на границе устойчивости при наличии либо нулевого характеристического корня, либо пары число мнимых корней. (a=0)



4. Критерий устойчивости Михайлова (вывод — случай вещественных корней).

Формулировки



1. Для устойчивости линейной системы n порядка необходимо и достаточно, чтобы полное приращение фазы (аргумента) Ψ( w ) при изменении w= [0,∞) было равно . n – степень характеристического уравнения системы

Критерий устойчивости Михайлова относится к графическим критериям, он мало зависит от размерности системы и может быль реализован программно-аппаратными средствами. Кривая Михайлова строится как годограф X(Y).



Вывод формул

Характер системы определяется характеристическим полиномом:



p=jw , , где j – мнимая единица, w – угловая частота колебаний.





В X( w ) содержатся четные степени w , а в Y( w ) – нечетные.



Рассмотрим зависимость между критерием Михайлова и знаками вещественных корней характеристического уравнения при изменении w= [0,∞).

1. Предположим, что p1= – вещественное отрицательное число. p1=-a1, a1>0



(jw-p1)=(jw+a1). Вектор OB при займет положение π/2.

2. Предположим, что p1 – вещественное положительное число. p1=a1, a1>0.



(jw-p1)=(jw-a1). Вектор OB при займет положение -π/2

5. Частотная передаточная функция и частотные характеристики (определения, формы записи, графики).

Зависимости, связывающие амплитуду и фазу выходного сигнала с частотой входного сигнала, называются частотными характеристиками (ЧХ). Частотная передаточная функция (ЧПФ), описывающая данную зависимость является важнейшей характеристикой динамических звеньев.

Рассмотрим динамическое звено, которое задано уравнением:



Если на вход звена в устойчивом режиме будет подана гармоническая функция: то на выходе будет получена также гармоническая функция той же частоты:

Используя формулы Эйлера:



Можно отдельно рассмотреть прохождение составляющих . Введем упрощение, обозначив . Произведем замену:



Найдем остальные компоненты для уравнения (*)



И подставим их в уравнение



Учитывая, что , сократим множитель и получим



Формы представления ЧПФ



— ЧПФ в алгебраической форме.

Обозначим — ЧПФ в показательной форме. В комплексной форме ЧПФ , .



Частотная передаточная функция получается из обычной передаточной функции W( p ) путем подстановки . ЧПФ – изображение Фурье от функции веса.



Виды ЧПФ

1. Амплитудно-фазовая частотная характеристика (АФЧХ)

строится в комплексной плоскости, представляет собой геометрическое место точек концов векторов (годограф), соответствующее ЧПФ в комплексной форме. Т.к. w может быть (+) и (–), то строится только положительная ветвь, а отрицательная – зеркально отображается.



Построение АФФЧХ по вещественным и мнимым частям – трудоемкая работа, проще строить ее, используя полярные координаты при непосредственном вычислении модуля и фазы.

2. Амплитудно-частотная характеристика (АЧХ)



Показывает, как звено пропускает сигнал различной частоты.

3. Фазовая частотная характеристика (ФЧХ)



Показывает фазовые сдвиги, вносимые звеном на различных частотах.

5. Передаточные функции и уравнения динамики замкнутых систем автоматического регулирования (САР)

Продолжаем публикацию лекций по курсу «Управление в Технических Системах» автор — Олег Степанович Козлов на кафедре Э7 МГТУ им. Н.Э. Баумана.

Данные лекции готовятся к публикации в виде книги, а поскольку здесь есть специалисты по ТАУ, студенты и просто интересующиеся предметом, то любая критика приветствуется. В предыдущих сериях:

Будет как всегда позновательной увлекательно и жестко

5.1. Главная передаточная функция. Передаточные функции по возмущающему воздействию и для ошибки (рассогласования)

Используя структурные преобразования (см. раздел 4), структурную схему практически любой линейной или линеаризованной САР (САУ) можно привести к виду:



Где функции по времени:

– регулируемая величина (выходное воздействие);

Или в изображениях:

Определение: Если единичная обратная связь охватывает все элементы (звенья) САР – она называется главной.

Определение: Если главная обратная связь отсутствует — САР считается разомкнутой.

Передаточная функция может быть любой сложности (т.е. содержать местные обратные связи, параллельные и последовательные цепи и т.д.).

Возмущающих воздействий может быть несколько и приложены они могут быть в любом месте структурной схемы.

Передаточную функцию которую в Теории Управления называют передаточной функцией разомкнутой САР, будем представлять в следующем виде (для единообразия):

где – общий коэффициент усиления; – полиномы по степеням переменной , причем свободные члены в них равны 1 (единице).

Учитывая, что САР линейна или линеаризована, разделим на структурной схеме каналы прохождения управляющего и возмущающего воздействий. Выделим в отдельное звено (может быть и очень сложное) ту часть системы, через которую проходит возмущающее воздействие обозначим ее через Структурная схема САР принимает вид:



В Теории Управления используют 3 основных передаточных функций замкнутой САР:

• главная передаточная функция ;
• передаточная функция по возмущающему воздействию ;
• передаточная функция для ошибки (рассогласования)

Рассмотрим более подробно вышеупомянутые передаточные функции.

Главная передаточная функция

Главная передаточная функция -передаточная функция по управляющему воздействию математическое определение этой передаточной функции:

выведем формулу при условии если возмущеющие воздействие равно . «Обойдем» структурную схемв по контуру:

Примечание. Формула (5.3) совпадает с формулой для передаточной функции цепи с местной единичной обратной связью (см. раздел 4 – «Структурные преобразования»).

Подставляя вместо ее выражение через полиномы и

Анализ выражения (5.4) показывает, что свойства главной передаточной функции замкнутой САР однозначно определяются свойствами разомкнутой САР, т.е. через полиномы и .

Передаточная функция замкнутой САР по внешнему возмущающему воздействию

Дадим математическое определение рассматриваемой передаточной функции если управляющие воздействи , а возмущеющие воздействие отличное от нуля . В этом случае (см. рисунок 5.1.2) получается:

Перрейдем к изображением и «обойдем» схему (см. рис. 5.1.2) по контуру

Подставляя вместо ее выражение через полиномы и получаем:

где: — вид данного полинома зависит от места приложения возмущающего воздействия;

Формулы 5.4 и 5.6 имеют общий занаменатель

Передаточная функция замкнутой САР для ошибки (рассогласования)

Дадим математическое определение рассматриваемой передаточной функции если управляющие воздействиt отлично от 0 , а возмущеющие воздействие равно 0 . В этом случае для передаточной функции получается (см. рис. 5.1.2):

Сделаем вывод соответствующих формул, выполнив «обход» по контуру схемы (см. рис. 5.1.2)

Учитывая формулу для главной передаточной функции можно записать выражения для передаточной функции рассоглаосвания:

Подставляя вместо ее выражение через полиномы и получаем:

Опять замечаем, что знаменатель передаточной функции равен полиному следовательно, характерным признаком передаточных функций замкнутой САР является общность знаменателей ! ! !

В Теории Управления выражение имеет «собственное» название: характеристический полином замкнутой САР.

5.2 Уравнения динамики замкнутой САР

Как указывалось в подразделе 5.1, любую замкнутую САР можно привести к виду представленному на рисунке 5.2.1:



Выведены соотношения для 3-х основных передаточных функций замкнутой САР позволяют записать выражения для регулируемой величины в изображениях:

Подставляя значения и через полиномы и разомкнутой САР получаем:

подставим значения для характеристического полинома получим выражение для динамического уравнения замкнутой САР в изображениях:

Переходя к оригиналам получаем символическую форму записи обыкновенного дифференциального уравнения замкнутой САР:

Решение диференциального уравнения состоит из двух частей:

где: — собственная часть, решение однородного дифференциального уравнения ;

— вынужденная часть решения (частное решение), определяемая правой частью уравнения ( 5.2.3 ).

Решения однородного уравнения замкнутой САР:

записываем соответствующее характеристическое уравнение:

находим корни степенного уравнения если все корни уравнения разные:

Обычно находят по виду правой части уравнения (5.2.3) или, используя другие методы (например, метод вариаций постоянных).

Необходимо отметить, что порядок дифференциального уравнения (5.2.3) равен «n», т.е. такой же, как и у разомкнутой САР

если нет возмущающего воздействия, т.к. порядок дифференциального оператора L(p) обычно значительно выше, чем N(p).

По аналогии с выводом уравнения (5.2.3) можно получить уравнение динамики для рассогласования :

подставляя значения и (см. 5.6 и 5.9) получаем:

Уравнение (5.2.5)- уравнение динамики замкнутой САР в ихображениях для рассогласования (ошибки) при наличии управляющего и возмущающего воздействий.

Особенностью данного уравнения (5.2.5) является то, что левая часть его практически совпадает с левой частью (5.2.2), в то время, как порядок правой части заметно выше , т.к. порядок многочленов D (s) и L (s) — одинаков, а порядок N(s) меньше L(s).

Это означает, что внешние воздействия и влияют на более сильным образом.

Дифференциальное уравнение замкнутой САР для ошибки:

Способы решения уравнения ( 5.2.6 ) такие же, как и для уравнения ( 5.2.3 ) .

5.3. Частотные характеристики замкнутой САР.

Наибольший интерес при анализе замкнутых САР имеет АФЧХ замкнутой САР по управляющему воздействию:

где передаточная функция:

Учитывая, что — комплексное число, по аналогии имеем:

Где — вещественная часть функции, — мнимая часть функиции.



На этих рисунках представлен «примерный» вид зависимостей P (w)и Q(w) для «какой-то» замкнутой САР причем P(w) — четная функция, т.е. P(w) = P(-w); Q(w) — нечетная функция, т.е. Q(w) = — Q(-w).

Если известны частотные свойства разомкнутой САР, то можно определить частотные свойства замкнутой САР. Воспользуемся показательной формой для АФЧХ

Где — амплитуда (модуль), — сдвиг фазы (фаза). Подставляя это в (5.3.1), имеем получаем:

Приравнивая чисто вещественные и чисто мнимые части, имеем

Для нахождения амплитуды и сдвига фазы замкнутой передаточной функции как функции от амплитуды и сдвига фазы разомкнутой системы. Разделив (2) на (1) получим:

Сдвиг фазы замкнутой системы через характеристики разомкнутой системы:

Для получения амплитуды замкнутоей системы возведем оба уравнения системы (5.3.5) в квадрат:

складываем эти два уравнения:

Аналогичным образом можно выразить, например, P(w) и Q(w) — характеристики замкнутой САР через u(w) и u(w) — характеристики разомкнутой САР.

Пример

В качестве примера на рисунке 5.4.1 приведена модель помещения, в котором с помощью интегрирующего звена обеспечивается подвод тепла для поддержания температуры. Температура задается в виде ступенчатой функции. В качестве внешнего воздействия используется внешняя температура.



Передаточные функции построены средтвами автоматического анализа. Видно, что знаменатель главной передаточной функции и знаменатель передаточной функции по возмущающиму воздействию одинаковы.



График справа показывает расхождение результаты модели (зеленая линия) и передаточных функций (синит линя) в начале расчета, но потом функции сходятся. Расхождение объясняются разными начальными условиями по производным. Слева тот же самый график, но в это случае начальное состояние определено с помощю загрузки стационарного состояния, полученного предварительным моделированием. В этом случае совпадение модели и передаточных функций полное.

Ссылку на модель примера можено взять здесь.

Определение передаточной функции. Соотношение между передаточной функцией и передаточным коэффициентом.

Передаточная функция – это отношение выходной величины системы к ее входной величине при начальных условиях. Это основная характеристика системы, по которой судят о ее свойствах. Передаточная функция может быть записана в нескольких формах. Операторная форма, когда при записи дифференциальных уравнений вводится понятие оператора дифференцирования . Тогда передаточная функция это отношение оператора воздействия к собственному оператору. — в статическом режиме — в динамическом режиме Передаточная функция в форме изображений Лапласа – это отношение изображения выходной величины к изображению входной величины при нулевых начальных условиях. , таким образом, передаточную функцию в изображении по Лапласу можно получить из передаточной функции в операторной форме заменой оператора р на комплексное число s=jw (только в случае стационарных звеньев). Т₀, Т₁ – постоянные времени К₀, К₁ – передаточные коэффициенты.

Критерий устойчивости Найквиста, его особенности для разомкнутых неустойчивых и разомкнутых неустойчивых систем.

Этот критерий позволяет судить об устойчивости замкнутых систем по виду АФХ разомкнутой системы. В передаточной функции разомкнутой системы производим замену s=jw, получаем частотную передаточную функцию разомкнутой системы W(jw). Выделим действительную Re=U(w) и мнимую Im=V(w) части. Модуль A(w) и фаза (w):; . Изменяя частоту w от — до +, конец вектора W(jw) описывает в комплексной плоскости кривую, называемую амплитудно-фазовой характеристикой разомкнутой системы. АФХ симметрична относительно вещественной оси, поэтому обычно вычерчивают АФХ при w>0. Если САУ в разомкнутом состоянии устойчива, т.е. l=0 (число правых корней характеристического уравнения), то приращение аргумента вектора (jw) равно нулю. Arg (jw)=2l=0 при —Если разомкнутая САУ устойчива, то замкнутая САУ будет устойчива, если АФХ разомкнутой системыW(jw) не охватывает точку (-1,j0).

1. Показатели качества управления, их определение по переходным ихарактеристикам.

По кривой переходной характеристики h(t) получают прямые оценки качества, то есть при воздействии на систему единичной ступенчатой функции. К прямым оценкам качества относят:

1. Установившееся значение h_уст (5% — 0.05).
2. Время регулирования – минимальное время, по истечении которого регулируемая величина будет оставаться близкой к установившемуся значению с заданной точностью t_p.
3. Перерегулирование – максимальное отклонение переходной характеристики от установившегося значения выходной величины, выраженное в относительных единицах или в процентах.

, где h_max – значение первого максимума. Обычно .

1. Декремент затухания, равный отношению модулей двух смежных перерегулирований.
2. Время достижения первого максимума t_max.
3. Время нарастания переходного процесса t_{н –} абсциссу первой точки пересечения кривой переходной характеристики с уровнем установившегося значения h_уст.
4. Число колебаний n, которое имеет переходная характеристика за время регулирования t_p.
5. Период колебаний Т.
6. Частота колебаний  = πn / Т, где Т – период колебаний для колебательных переходных характеристик.