Как посчитать напряжение на конденсаторе в цепи

Как найти напряжение и заряд на каждом из конденсаторов.

Конденсаторы емкостями \( = 2\) мкФ, \( = 15\) мкФ и \( = 10\) мкФ соединены последовательно и находятся под напряжением \(U = 850\) В. Определить на­пряжение и заряд на каждом из конденсаторов.

ОПРЕДЕЛЕНИЯ

• характеристика проводника, количественная мера его способности удерживать электрический заряд

• количественная характеристика, показывающая степень возможного участия тела в электромагнитных взаимодействиях

• устройство, предназначенное для получения нужных величин электрической ёмкости и способное накапливать и отдавать (перераспределять) электрические заряды

• разность потенциалов между двумя точками электрической цепи; на участке цепи, не содержащей электродвижущую силу, равно произведению силы тока на сопротивление участка

Дополнительные материалы

Для данной задачи нет дополнительных материалов

Похожие задачи

Как определить напряжение на обкладках конденсаторов.

Конденсаторы емкостью \( = 5\) мкФ и \( = 10\) мкФ заряжены до напряжений \( = 60\) В и \( = 100\) В соответственно. Определить напряжение на об­кладках конденсаторов после их соединения обкладками, имеющими одноименные заряды.

Как определить на сколько изменится емкость батареи.

Два одинаковых плоских воздушных конденсато­ра емкостью \(C = 100\) пФ каждый соединены в батарею последовательно. Определить, на сколько изменится емкость \(C\) батареи, если пространство между пластинами одного из конденсаторов заполнить парафином.

Конденсатор в цепи переменного тока

Господа, в сегодняшней статье я хотел бы рассмотреть такой интересный вопрос, как конденсатор в цепи переменного тока. Эта тема весьма важна в электричестве, поскольку на практике конденсаторы повсеместно присутствуют в цепях с переменным током и, в связи с этим, весьма полезно иметь четкое представление, по каким законам изменяются в этом случае сигналы. Эти законы мы сегодня и рассмотрим, а в конце решим одну практическую задачу определения тока через конденсатор.

Господа, сейчас для нас наиболее интересным моментом является то, как связаны между собой напряжение на конденсаторе и ток через конденсатор для случая, когда конденсатор находится в цепи переменного сигнала.

Почему сразу переменного? Да просто потому, что конденсатор в цепи постоянного тока ничем не примечателен. Через него течет ток только в первый момент, пока конденсатор разряжен. Потом конденсатор заряжается и все, тока нет (да-да, слышу, уже начали кричать, что заряд конденсатора теоретически длится бесконечно долгое время, да еще у него может быть сопротивление утечки, но пока что мы этим пренебрегаем). Заряженный конденсатор для постоянного тока – это как разрыв цепи. Когда же у нас случай переменного тока – тут все намного интереснее. Оказывается, в этом случае через конденсатор может протекать ток и конденсатор в этом случае как бы эквивалентен резистору с некоторым вполне определенным сопротивлением (если пока забить забыть про всякие там сдвиги фазы, об этом ниже). Нам надо каким-нибудь образом получить связь между током и напряжением на конденсаторе.

Пока мы будем исходить из того, что в цепи переменного тока находится только конденсатор и все. Без каких-либо других компонентов типа резисторов или индуктивностей. Напомню, что в случае, когда у нас в цепи находится исключительно одни только резисторы, подобная задача решается очень просто: ток и напряжения оказываются связанными между собой через закон Ома . Мы про это уже не один раз говорили. Там все очень просто: делим напряжение на сопротивление и получаем ток. А как же быть в случае конденсатора? Ведь конденсатор-то это не резистор. Там совсем иная физика протекания процессов, поэтому вот так вот с наскока не получится просто связать между собой ток и напряжение. Тем не менее, сделать это надо, поэтому давайте попробуем порассуждать.

Сперва давайте вернемся назад. Далеко назад. Даже очень далеко. К самой-самой первой моей статье на этом сайте. Старожилы должно быть помнят, что это была статья про силу тока . Вот в этой самой статье было одно интересное выражение, которое связывало между собой силу тока и заряд, протекающий через сечение проводника. Вот это самое выражение

Кто-нибудь может возразить, что в той статье про силу тока запись была через Δq и Δt – некоторые весьма малые величины заряда и времени, за которое этот заряд проходит через сечение проводника. Однако здесь мы будем применять запись через dq и dt – через дифференциалы. Такое представление нам потребуется в дальнейшем. Если не лезть глубоко в дебри матана, то по сути dq и dt здесь особо ничем не отличаются от Δq и Δt. Безусловно, глубоко сведущие в высшей математике люди могут поспорить с этим утверждением, но да сейчас я не хочу концентрировать внимание на данных вещах.

Итак, выражение для силы тока мы вспомнили. Давайте теперь вспомним, как связаны между собой емкость конденсатора С, заряд q, который он в себе накопил, и напряжение U на конденсаторе, которое при этом образовалось. Ну, мы же помним, что если конденсатор накопил в себе какой-то заряд, то на его обкладках неизбежно возникнет напряжение. Про это все мы тоже говорили раньше, вот в этой вот статье . Нам будет нужна вот эта формула, которая как раз и связывает заряд с напряжением

Давайте-ка выразим из этой формулы заряд конденсатора:

А теперь есть очень большой соблазн подставить это выражение для заряда конденсатора в предыдущую формулу для силы тока. Приглядитесь-ка повнимательнее – у нас ведь тогда окажутся связанными между собой сила тока, емкость конденсатора и напряжение на конденсаторе! Сделаем эту подстановку без промедлений:

Емкость конденсатора у нас является величиной постоянной. Она определяется исключительно самим конденсатором, его внутренним устройством, типом диэлектрика и всем таким прочим. Про все это подробно мы говорили в одной из прошлых статей . Следовательно, емкость С конденсатора, поскольку это константа, можно смело вынести за знак дифференциала (такие вот правила работы с этими самыми дифференциалами). А вот с напряжением U нельзя так поступить! Напряжение на конденсаторе будет изменяться со временем. Почему это происходит? Ответ элементарный: по мере протекания тока на обкладках конденсатора, очевидно, заряд будет изменяться. А изменение заряда непременно приведет к изменению напряжения на конденсаторе. Поэтому напряжение можно рассматривать как некоторую функцию времени и его нельзя выносить из-под дифференциала. Итак, проведя оговоренные выше преобразования, получаем вот такую вот запись:

Господа, спешу вас поздравить – только что мы получили полезнейшее выражение, которое связывает между собой напряжение, приложенное к конденсатору, и ток, который течет через него. Таким образом, если мы знаем закон изменения напряжения, мы легко сможем найти закон изменения тока через конденсатор путем простого нахождения производной.

А как быть в обратном случае? Допустим, нам известен закон изменения тока через конденсатор и мы хотим найти закон изменения напряжения на нем. Читатели, сведущие в математике, наверняка уже догадались, что для решения этой задачи достаточно просто проинтегрировать написанное выше выражение. То есть, результат будет выглядеть как-то так:

По сути оба этих выражений про одно и тоже. Просто первое применяется в случае, когда нам известен закон изменения напряжения на конденсаторе и мы хотим найти закон изменения тока через него, а второе – когда нам известно, каким образом меняется ток через конденсатор и мы хотим найти закон изменения напряжения. Для лучшего запоминания всего этого дела, господа, я приготовил для вас поясняющую картинку. Она изображена на рисунке 1.

Рисунок 1 – Поясняющая картинка

На ней, по сути, в сжатой форме изображены выводы, которые хорошо бы запомнить.

Господа, обратите внимание – полученные выражения справедливы для любого закона изменения тока и напряжения. Здесь не обязательно должен быть синус, косинус, меандр или что-то другое. Если у вас есть какой-то совершенно произвольный, пусть даже совершенно дикий, не описанный ни в какой литературе, закон изменения напряжения U(t), поданного на конденсатор, вы, путем его дифференцирования можете определить закон изменения тока через конденсатор. И аналогично если вы знаете закон изменения тока через конденсатор I(t) то, найдя интеграл, сможете найти, каким же образом будет меняться напряжение.

Итак, мы выяснили как связать между собой ток и напряжение для абсолютно любых, даже самых безумных вариантов их изменения. Но не менее интересны и некоторые частные случаи. Например, случай успевшего уже нам всем полюбиться синусоидального тока. Давайте теперь разбираться с ним.

Пусть напряжение на конденсаторе емкостью C изменяется по закону синуса вот таким вот образом

Какая физическая величина стоит за каждой буковкой в этом выражении мы подробно разбирали чуть раньше . Как же в таком случае будет меняться ток? Используя уже полученные знания, давайте просто тупо подставим это выражение в нашу общую формулу и найдем производную

Или можно записать вот так

Господа, хочу вам напомнить, что синус ведь только тем и отличается от косинуса, что один сдвинут относительно другого по фазе на 90 градусов. Ну, или, если выражаться на языке математики, то . Не понятно, откуда взялось это выражение? Погуглите формулы приведения . Штука полезная, знать не помешает. А еще лучше, если вы хорошо знакомы с тригонометрическим кругом, на нем все это видно очень наглядно.

Господа, отмечу сразу один момент. В своих статьях я не буду рассказывать про правила нахождения производных и взятия интегралов. Надеюсь, хотя бы общее понимание этих моментов у вас есть. Однако даже если вы не знаете, как это делать, я буду стараться излагать материал таким образом, чтобы суть вещей была понятна и без этих промежуточных выкладок. Итак, сейчас мы получили немаловажный вывод – если напряжение на конденсаторе изменяется по закону синуса, то ток через него будет изменяться по закону косинуса. То есть ток и напряжение на конденсаторе сдвинуты друг относительно друга по фазе на 90 градусов. Кроме того, мы можем относительно легко найти и амплитудное значение тока (это множители, которые стоят перед синусом). Ну то есть тот пик, тот максимум, которого ток достигает. Как видим, оно зависит от емкости C конденсатора, амплитуды приложенного к нему напряжения U_m и частоты ω. То есть чем больше приложенное напряжение, чем больше емкость конденсатора и чем больше частота изменения напряжения, тем большей амплитуды достигает ток через конденсатор. Давайте построим график, изобразив на одном поле ток через конденсатор и напряжение на конденсаторе. Пока без конкретных цифр, просто покажем качественный характер. Этот график представлен на рисунке 2 (картинка кликабельна).

Рисунок 2 – Ток через конденсатор и напряжение на конденсаторе

На рисунке 2 синий график – это синусоидальный ток через конденсатор, а красный – синусоидальное напряжение на конденсаторе. По этому рисунку как раз очень хорошо видно, что ток опережает напряжение (пики синусоиды тока находятся левее соответствующих пиков синусоиды напряжения, то есть наступают раньше).

Давайте теперь проделаем работу наоборот. Пусть нам известен закон изменения тока I(t) через конденсатор емкостью C. И закон этот пусть тоже будет синусоидальным

Давайте определим, как в таком случае будет меняться напряжение на конденсаторе. Воспользуемся нашей общей формулой с интегральчиком:

По абсолютнейшей аналогии с уже написанными выкладками, напряжение можно представить вот таким вот образом

Здесь мы снова воспользовались интересными сведениями из тригонометрии, что . И снова формулы приведения придут вам на помощь, если не понятно, почему получилось именно так.

Какой же вывод мы можем сделать из данных расчетов? А вывод все тот же самый, какой уже был сделан: ток через конденсатор и напряжение на конденсаторе сдвинуты по фазе друг относительно друга на 90 градусов. Более того, они не просто так сдвинуты. Ток опережает напряжение. Почему это так? Какая за этим стоит физика процесса? Давайте разберемся.

Представим, что незаряженный конденсатор мы подсоединили к источнику напряжения. В первый момент никаких зарядов в конденсаторе вообще нет: он же разряжен. А раз нет зарядов, то нет и напряжения. Зато ток есть, он возникает сразу при подсоединении конденсатора к источнику. Замечаете, господа? Напряжения еще нет (оно не успело нарасти), а ток уже есть. И кроме того, в этот самый момент подключения ток в цепи максимален (разряженный конденсатор ведь по сути эквивалентен короткому замыканию цепи). Вот вам и отставание напряжения от тока. По мере протекания тока, на обкладках конденсатора начинает накапливаться заряд, то есть напряжение начинает расти а ток постепенно уменьшаться. И через некоторое время накопится столько заряда на обкладках, что напряжение на конденсаторе сравняется с напряжением источника и ток в цепи совсем прекратится.

Теперь давайте этот самый заряженный конденсатор отцепим от источника и закоротим накоротко. Что получим? А практически то же самое. В самый первый момент ток будет максимален, а напряжение на конденсаторе останется таким же, какое оно и было без изменений. То есть снова ток впереди, а напряжение изменяется вслед за ним. По мере протекания тока напряжение начнет постепенно уменьшаться и когда ток совсем прекратится, оно тоже станет равным нулю.

Для лучшего понимания физики протекающих процессов можно в который раз уже использовать водопроводную аналогию. Представим себе, что заряженный конденсатор – это некоторый бачок, полный воды. У этого бачка есть внизу краник, через который можно спустить воду. Давайте этот краник откроем. Как только мы его откроем, вода потечет сразу же. А давление в бачке будет падать постепенно, по мере того, как вода будет вытекать. То есть, грубо говоря, ручеек воды из краника опережает изменение давления, подобно тому, как ток в конденсаторе опережает изменение напряжения на нем.

Подобные рассуждения можно провести и для синусоидального сигнала, когда ток и напряжения меняются по закону синуса, да и вообще для любого. Суть, надеюсь, понятна.

Давайте проведем небольшой практический расчет переменного тока через конденсатор и построим графики.

Пусть у нас имеется источник синусоидального напряжения, действующее значение равно 220 В, а частота 50 Гц. Ну, то есть все ровно так же, как у нас в розетках. К этому напряжению подключают конденсатор емкостью 1 мкФ. Например, пленочный конденсатор К73-17, рассчитанный на максимальное напряжение 400 В (а на меньшее напряжение конденсаторы ни в коем случае нельзя подключать в сети 220 В), выпускается с емкостью 1 мкФ. Чтобы вы имели представление, с чем мы имеем дело, на рисунке 3 я разместил фотографию этого зверька (спасибо Diamond за фото )

Рисунок 3 – Ищем ток через этот конденсатор

Требуется определить, какая амплитуда тока будет протекать через этот конденсатор и построить графики тока и напряжения.

Сперва нам надо записать закон изменения напряжения в розетке. Если вы помните, амплитудное значение напряжения в этом случае равно около 311 В. Почему это так, откуда получилось, и как записать закон изменения напряжения в розетке, можно прочитать вот в этой статье . Мы же сразу приведем результат. Итак, напряжение в розетке будет изменяться по закону

Теперь мы можем воспользоваться полученной ранее формулой, которая свяжет напряжение в розетке с током через конденсатор. Выглядеть результат будет так

Мы просто подставили в общую формулу емкость конденсатора, заданную в условии, амплитудное значение напряжения и круговую частоту напряжения сети. В результате после перемножения всех множителей имеем вот такой вот закон изменения тока

Вот так вот, господа. Получается, что амплитудное значение тока через конденсатор чуть меньше 100 мА. Много это или мало? Вопрос нельзя назвать корректным. По меркам промышленной техники, где фигурируют сотни ампер тока, очень мало. Да и для бытовых приборов, где десятки ампер не редкость – тоже. Однако для человека даже такой ток представляет большую опасность! Отсюда следует вывод, что хвататься за такой конденсатор, подключенный к сети 220 В не следует . Однако на этом принципе возможно изготовление так называемых источников питания с гасящим конденсатором. Ну да это тема для отдельной статьи и здесь мы не будем ее затрагивать.

Все это хорошо, но мы чуть не забыли про графики, которые должны построить. Надо срочно исправляться! Итак, они представлены на рисунке 4 и рисунке 5. На рисунке 4 вы можете наблюдать график напряжения в розетке, а на рисунке 5 – закон изменения тока через конденсатор, включенный в такую розетку.

Рисунок 4 – График напряжения в розетке

Рисунок 5 – График тока через конденсатор

Как мы можем видеть из этих рисунков, ток и напряжение сдвинуты на 90 градусов, как и должно быть. И, возможно, у читателя возникла мысль – если через конденсатор течет ток и на нем падает какое-то напряжение, вероятно, на нем должна выделяться и некоторая мощность . Однако спешу предупредить вас – для конденсатора дело обстоит совершенно не так. Если рассматривать идеальный конденсатор, то мощность на нем не будет вообще выделяться, даже при протекании тока и падении на нем напряжения. Почему? Как же так? Об этом – в будущих статьях. А на сегодня все. Спасибо что читали, удачи, и до новых встреч!

Вступайте в нашу группу Вконтакте

Вопросы и предложения админу: This email address is being protected from spambots. You need JavaScript enabled to view it.

4.4. Зарядка конденсатора

В этом разделе мы решим задачи о зарядке и разрядке конденсатора. Электрическая цепь показана на рис. 4.20. Переключатель S позволяет подсоединять и отсоединять источник тока.

Рис. 4.20. Цепь для зарядки и разрядки конденсатора

Пусть сначала конденсатор емкостью С не заряжен, и мы перебрасываем выключатель в положение а. По цепи пойдет зависящий от времени ток I(t), переносящий положительный заряд на верхнюю пластину конденсатора. Отметим, что хотя ток зарядки и разрядки конденсатора не является постоянным, но рассматривается здесь, поскольку его изменение в данном случае можно считать медленным. Обозначим заряд на этой пластине в момент t через q(t). Напряжение на конденсаторе можно найти как разницу между ЭДС и падением напряжения на нагрузке, то есть либо как отношение заряда к емкости q/C. Приравнивая эти выражения, получаем первое уравнение процесса зарядки

Согласно закону сохранения заряда, изменение заряда q на обкладках конденсатора происходит только из-за наличия тока I. Поэтому второе уравнение процесса имеет вид

Подставим (4.37) в (4.36):

Мы видим, что у этого уравнения имеется стационарное решение (постоянный заряд на конденсаторе)

При таком заряде на конденсаторе напряжение на нем равно ЭДС источника тока, и ток по цепи не идет

Введем отклонение у заряда на конденсаторе от его стационарного значения

Подставляя это соотношение в (4.38), находим уравнение для функции y(t)

Это уравнение легко интегрируется

Вычисляя интегралы. находим

где y₀ — произвольная постоянная интегрирования (значение у в начальный момент времени). Отсюда находим заряд на конденсаторе

Нам осталось использовать начальное условие: в момент t = 0 конденсатор был не заряжен

Дифференцируя q(t) по времени, находим ток в цепи

Напряжение на конденсаторе U(t) = q(t)/C без труда получается из (4.39)

Таким образом, по мере роста заряда и напряжения на конденсаторе ток в цепи уменьшается. При этом заряд конденсатора стремится к своему стационарному значению а напряжение на конденсаторе — к ЭДС источника тока. Величина имеет размерность времени и определяет характерное время процесса зарядки. За промежуток ток в цепи уменьшается
в е = 2,72 раза.

На рис. 4.21 показана зависимость заряда на конденсаторе и тока в цепи для конкретных значений R = 1,5 кОм, С = 2 мкФ, Характерное время процесса равно при этих значениях Из рисунков видно, что уже при временах порядка

конденсатор почти полностью заряжается.

Рис. 4.21. Графики зависимости напряжения на конденсаторе (слева) и тока в цепи (справа)
при зарядке конденсатора емкостью С = 2 мкФ через активное сопротивление R = 1,5 кОм от источника тока с ЭДС 12 В

Рассмотрим теперь процесс разрядки конденсатора. Зарядив его до какого-то заряда (или, что то же самое, до начального напряжения U₀ = q₀/C), мы перебрасываем переключатель в положение b (см. рис. 4.20). Конденсатор начнет разряжаться, а по цепи пойдет ток. Мы имеем те же самые уравнения за исключением того, что в цепь не включен источник тока. Поэтому в этом случае надо положить в уравнении (4.38). Тогда оно совпадет с тем, что мы ранее решали для y(t), поэтому решения для процесса разрядки конденсатора нам уже известны

Все эти величины быстро уменьшаются с течением времени: за тот же характерный промежуток заряд конденсатора, напряжение на нем и ток в цепи падают в 2,72 раза. Отрицательный знак в выражении для тока означает, что ток при разрядке течет в направлении, обратном току при зарядке конденсатора.

Дополнительная информация

Как посчитать напряжение на конденсаторе в цепи

Про вольтметр в вопросе нет ни слова. «Много больше» не значит «бесконечное». Если сопротивление вольтметра должно учитываться, то надо расписать делитель. Надо? Или сами справитесь? Имейте в виду: как только вольтметр отключите, так напряжение начнёт меняться в сторону U.

_________________
ВНИМАНИЕ! Я часто редактирую свои сообщения, поэтому перед ответом мне советую обновить страницу.
За перенос модераторами в МЯВУ тем с моими сообщениями я ответственности не несу.

Внутреннее сопротивление – один из наиболее значимых параметров, от которого напрямую зависят другие характеристики литиевого аккумулятора. От этого параметра напрямую зависят такие характеристики источника питания, как напряжение на выходе под нагрузкой, максимальный выходной ток и коэффициент полезного действия (КПД). Рассмотрим как измерить действительное значение внутреннего сопротивления АКБ, используя определенные методики.

Заголовок сообщения: Re: Как посчитать напряжение на конденсаторе?
Добавлено: Сб сен 30, 2023 13:14:58

Открыл глаза

Вольтметр можно считать идеальным. Считать это нет смысла, когда резисторы в Омах, а сопротивление вольтметра в МегаОмах.

Почему напряжение до резистора и после — одинаковое?

Качественное и безопасное устройство, работающее от аккумулятора, должно учитывать его физические и химические свойства, профили заряда и разряда, их изменение во времени и под влиянием различных условий, таких как температура и ток нагрузки. Мы расскажем о литий-ионных аккумуляторных батареях EVE и нескольких решениях от различных китайских компаний, рекомендуемых для разработок приложений с использованием этих АКБ. Представленные в статье китайские аналоги помогут заменить продукцию западных брендов с оптимизацией цены без потери качества.

Заголовок сообщения: Re: Как посчитать напряжение на конденсаторе?
Добавлено: Сб сен 30, 2023 13:16:18
Сопротивление резистора R тоже в омах?

_________________
ВНИМАНИЕ! Я часто редактирую свои сообщения, поэтому перед ответом мне советую обновить страницу.
За перенос модераторами в МЯВУ тем с моими сообщениями я ответственности не несу.

Заголовок сообщения: Re: Как посчитать напряжение на конденсаторе?
Добавлено: Сб сен 30, 2023 13:18:29

Открыл глаза

Заголовок сообщения: Re: Как посчитать напряжение на конденсаторе?
Добавлено: Сб сен 30, 2023 13:24:55

Допустим, что сопротивление R равно 10 Ом, сопротивление батареи r равно 2 Ом, сопротивление вольтметра Rv равно 10 МОм, а напряжение U равно 10 В. Тогда вольтметр покажет напряжение Uv = 10*10000000/(10000000+10+2) = 9.999988 В. Если ваш вольтметр показывает что-то другое, значит, вы описываете что-то не так, как оно на самом деле. Например, конденсатор имеет утечку.

_________________
ВНИМАНИЕ! Я часто редактирую свои сообщения, поэтому перед ответом мне советую обновить страницу.
За перенос модераторами в МЯВУ тем с моими сообщениями я ответственности не несу.

Страница 1 из 1

[ Сообщений: 8 ]

Часовой пояс: UTC + 3 часа

Кто сейчас на форуме

Сейчас этот форум просматривают: нет зарегистрированных пользователей и гости: 17

Вы не можете начинать темы Вы не можете отвечать на сообщения Вы не можете редактировать свои сообщения Вы не можете удалять свои сообщения Вы не можете добавлять вложения

Powered by phpBB © 2000, 2002, 2005, 2007 phpBB Group
Русская поддержка phpBB
Extended by Karma MOD © 2007—2012 m157y
Extended by Topic Tags MOD © 2012 m157y

Работоспособность сайта проверена в браузерах:
IE8.0, Opera 9.0, Netscape Navigator 7.0, Mozilla Firefox 5.0
Адаптирован для работы при разрешениях экрана от 1280х1024 и выше.
При меньших разрешениях возможно появление горизонтальной прокрутки.
По всем вопросам обращайтесь к Коту: kot@radiokot.ru
©2005-2024