В чем измеряется спектральная плотность

В оптике энергия излучения определяется за время намного большее, чем период собственных колебаний электромагнитных волн оптического диапазона. Ограничимся простой геометрической моделью, являющейся следствием уравнений Максвелла, согласно которой свет представляет собой поток лучистой энергии, распространяющейся вдоль геометрических лучей.

Электромагнитное поле в однородных изотропных средах переносит энергию в направлении, которое указывается оптическим лучевым вектором .

Энергия измеряется в джоулях: .

2.1.1. Поток излучения

Основной величиной, которая позволяет судить о количестве излучения, является поток излучения (или мощность излучения):

Поток излучения (лучистый поток) – это величина энергии, переносимой полем в единицу времени через данную площадку (рис.2.1.1)

Поток излучения измеряется в ваттах:

Рис. 2.1.1. Поток излучения.

Энергия зависит от спектрального состава света. Если разложить поле на монохроматические составляющие (каждая с определенной длиной волны), то вся энергия некоторым образом распределится между ними (рис.2.1.2).

Рис.2.1.2. Спектральная плотность потока излучения.

Спектральная плотность потока излучения – это функция, показывающая распределение энергии по спектру излучения:

Тогда общий суммарный поток для всех длин волн в диапазоне от до будет вычисляться как интеграл:
(2.1.2)

2.1.2. Поверхностная плотность потока энергии (освещенность, светимость)

Поверхностная плотность потока энергии – это величина потока, приходящегося на единицу площади:

Если площадка освещается потоком, то поверхностная плотность потока энергии будет иметь смысл энергетической освещенности или облученности . Если поток излучается площадкой, то поверхностная плотность потока энергии будет иметь смысл энергетической светимости .

Спектральная плотность поверхностной плотности потока показывает распределение светимости или освещенности по спектру излучения:

2.1.3. Сила излучения

Рассмотрим излучение точечного источника в пределах некоторого телесного угла (рис.2.1.3):

Рис.2.1.3. Энергетическая сила света.

Телесный угол данного конуса равен отношению площади поверхности, вырезанной на сфере конусом, к квадрату радиуса сферы.

Телесный угол измеряется в стерадианах (в сфере ).

Сила излучения (энергетическая сила света) – это поток излучения, приходящийся на единицу телесного угла, в пределах которого он распространяется:

За единицу энергетической силы света приняты сила излучения такого точечного источника, у которого в пределах равномерно распределяется поток излучения в .

Энергетическая сила света – величина, имеющая направление. За направление силы света принимают ось телесного угла, в пределах которого распространяется поток излучения.

Поток называется равномерным, если в одинаковые телесные углы, выделенные по какому-либо направлению, излучается одинаковый поток. В случае неравномерного потока для определения силы света в каком-то направлении надо выделить элементарный телесный угол вдоль данного направления и измерить световой поток , приходящийся на этот телесный угол:
(2.1.7)

Для неравномерного потока существует понятие средней сферической силы света :
(2.1.8)

Спектральная плотность силы излучения показывает распределение силы излучения по спектру:
(2.1.9)

2.1.4. Энергетическая яркость

Яркость определяет поверхностно-угловую плотность потока излучения. Яркость является характеристикой протяженного источника, в то время как сила излучения является характеристикой точечного источника.

Энергетическая яркость – это величина потока, излучаемого единицей площади в единицу телесного угла в данном направлении.

Если излучающая площадка перпендикулярна направлению излучения, то энергетическая яркость определяется следующим образом:
, (2.1.10)

За единицу энергетической яркости принимают яркость плоской поверхности в , которая в перпендикулярном направлении имеет энергетическую силу света в .

где – угол между направлением излучения и нормалью к площадке (рис.2.1.4).

Рис.2.1.4. Энергетическая яркость.

Спектральная плотность энергетической яркости показывает распределение энергетической яркости по спектру:
(2.1.12)

2.1.5. Инвариант яркости вдоль луча

Яркость постоянна (инвариантна) вдоль луча при отсутствии потерь энергии:

Если среда неоднородна (показатель преломления меняется), то используется приведенная яркость (инвариант яркости) :

яркость является основной характеристикой передачи световой энергии оптической системой;
оптическая система в принципе не может увеличивать яркость проходящего через нее излучения (она может лишь уменьшить яркость за счет поглощения или рассеяния света).

2.1.6. Поглощение света средой

Световой поток, распространяясь в оптической среде, частично поглощается.

Энергетический коэффициент пропускания – это отношение энергетического светового потока , пропущенного данным телом, к энергетическому потоку , упавшему на него :

Если среда поглощает, то инвариант яркости вдоль луча выглядит следующим образом:
(2.1.15)

Спектральная плотность пропускания показывает распределение коэффициента пропускания по спектру.

Оптическая плотность среды – логарифм величины, обратной пропусканию:
(2.1.16)

Таким образом, более оптически плотная среда сильнее поглощает.

Решение задач на определение энергетических величин рассматривается в практическом занятии «Энергетика световых волн», пункт «1.1. Расчет энергетических величин».

Спектральная плотность энергии излучения

Идеи, Концепции, учения, методы исследования

Спектра́льная пло́тность эне́ргии излуче́ния, количество энергии , усреднённое за время, большее периода узкого диапазона частот ν \nu ν (или длин волн λ \lambda λ ) электромагнитной волны , которое приходится на единицу выбранного интервала. Величина определяется как

I ν = d P d S d ν I_=\frac I ν = d S d ν d P или I λ = d P d S d λ I_<\lambda >=\frac I λ = d S d λ d P .

Единица измерения в Международной системе единиц СИ (SI): Вт‧м −2 ‧Гц −1 или Вт‧м −2 ‧м −1 .

Редакция физических наук

Опубликовано 20 января 2023 г. в 19:40 (GMT+3). Последнее обновление 20 января 2023 г. в 19:40 (GMT+3). Связаться с редакцией

Спектральная плотность

Спектральная плотность является математическим инструментом для представления различных спектральных компонент сигнала и для выполнения гармонического анализа . Он используется, в частности, в физике, технике и обработке сигналов.

В физике и технике изучаемый сигнал соответствует физической величине, выраженной в единице. На практике экспериментатор часто выполняет точные измерения напряжения, он приводит размер, действительно изученный, с помощью мультипликативного коэффициента, который часто условно называют K _d (единица K _d — это [V⋅unit −1 ]).

Представленная физическая величина обычно (но, конечно, не исключительно), напряжение U [В] или ток I [A] в электронике, разность фаз [рад] или частоты [Гц] между двумя осцилляторами во времени / частотах (возможно, нормализованные, чтобы дать отклонения времени x или нормированной частоты y ), или даже угловое вращение [рад] или ускорение a (в [ м с -2 ] или в [галлонах]) для гравито-инерциальных датчиков. ϕ Δ ν θ

В дальнейшем мы будем рассматривать в довольно общем виде, что сигнал представлен x ( t ), действительной функцией действительной переменной (времени), соответствующей физической величине размерности [единица].

Резюме

1 Спектральная плотность энергии
2 Спектральная плотность мощности
3 Оценка спектральной плотности мощности
4 Примечания и ссылки
5 См. Также
- 5.1 Внутренние ссылки
- 5.2 Внешние ссылки
Спектральная плотность энергии

Для x с суммируемым квадратом (и, следовательно, в частности для x с ограниченным носителем . ), мы определяем преобразование Фурье (TF) X ( f ) функции x ( t ) следующим образом:

Икс ( ж ) знак равно Δ ∫ — ∞ + ∞ Икс ( т ) е — 2 π я ж т d т > \ int _ ^ x (t) e ^ dt>

Это априори сложная функция действительной переменной, и мы имеем наоборот:

Икс ( т ) знак равно ∫ — ∞ + ∞ Икс ( ж ) е 2 π я ж т d ж ^ X (f) e ^ df>

Спектральная плотность энергии сигнала x определяется следующим образом:

D S E знак равно Δ | Икс ( ж ) | 2 знак равно Икс ( ж ) Икс * ( ж ) > \; > \; | X (f) | ^ = X (f) X ^ (f)>

блок которого является [блок 2 ⋅s 2 ], более часто выражается в [Блок 2 ⋅s⋅Hz -1 ].

Тогда теорема Парсеваля-Планшереля гарантирует, что

W знак равно ∫ — ∞ + ∞ Икс 2 ( т ) d т знак равно ∫ — ∞ + ∞ | Икс ( ж ) | 2 d ж ^ x ^ (t) dt = \ int _ ^ | X (f) | ^ df>

Величину W принято называть полной энергией сигнала , выраженной в [единицах измерения 2. С ]. Причина в том, что для физической величины, представляющей напряжение [В] или даже ток [A], мы можем канонически предположить, что эта величина измеряется на клеммах или через сопротивление 1 Ом. Полная энергия, рассеиваемая (за счет эффекта Джоуля ) в этом резисторе сопротивлением 1 Ом, тогда будет фактически W (в джоулях), что оправдывает используемую терминологию. Для других типов физической величины отношение к энергии в физическом смысле (в джоулях) не обязательно канонично, но в более широком смысле терминология осталась. Кроме того, и , следовательно, мгновенная мощность из сигнала х (выраженная в [блоке 2 ]) будет принято называть е 2 ( т ), так как его временная сумма равна полной энергию.

Если x соответствует случайному процессу, спектральная плотность энергии фактически определяется математическим ожиданием (если оно существует):

D S E знак равно Δ E [ | Икс ( ж ) | 2 ] > \; > \; E \ left [| X (f) | ^ \ right]>

Спектральная плотность мощности

Если x ( t ) не является суммируемым квадратом (что имеет место для большинства стационарных случайных процессов), X ( f ) не определяется в смысле функций (тем не менее, его можно определить в смысле распределений ): полная энергия в общем случае бесконечен (опять же, это верно для большинства стационарных случайных процессов).

Затем мы определяем усеченную версию x _T ( t ) функции x ( t ) следующим образом:

Тогда у нас есть . Lim Т → ∞ Икс Т ( т ) знак равно Икс ( т ) x_ (t) = x (t)>

Усеченная функция x _T имеет суммируемый квадрат (поскольку ее носитель ограничен), а ее TF выражается в [unit⋅s]. Икс Т ( ж ) (е)>

Если x представляет собой случайный процесс, мы определяем DSP спектральной плотности мощности (если он существует) следующим образом:

S Икс ( ж ) знак равно Δ Lim Т → ∞ E [ | Икс Т ( ж ) | 2 ] 2 Т (f) > \ lim _ \ left [| X_ (f ) | ^ \ right]> >> , выражается в единицах [единица измерения 2 мкс] или, чаще всего, в единицах измерения 2 / Гц (обратите внимание, что X _T ( f ) выражается в [единицах измерения мкс]).

Обратите внимание, что мы не можем принять предел перед вычислением среднего, потому что , как правило, он не существует в смысле функций. В самом деле, если x ( t ) представляет собой единственную реализацию случайного процесса, | X _T ( f ) | 2 /2 Т приведены колебания более быстрее , когда T возрастает ( «выполоть все более и более плотной»), и , следовательно , не допускает предела , когда (см в этом в спектральной оценки ЦСП с использованием периодограммы). Lim Т → ∞ | Икс Т ( ж ) | 2 / 2 Т | X_ (f) | ^ / 2T> Т → ∞

Для стационарного случайного процесса , в Винер-Хинчин теоремы показывает , что:

S Икс ( ж ) знак равно ∫ — ∞ + ∞ р Икс Икс ( τ ) е — 2 π я ж τ d τ (f) = \ int _ ^ R_ (\ tau) e ^ d \ tau>

и, следовательно, наоборот: р Икс Икс ( τ ) знак равно ∫ — ∞ + ∞ S Икс ( ж ) е 2 π я ж τ d ж (\ tau) = \ int _ ^ S_ (f) e ^ df>

где R _xx ( ) определяется как функция автокорреляции x : τ

р Икс Икс ( τ ) знак равно Δ E [ Икс ( т ) ⋅ Икс ( т + τ ) ] (\ tau) \; > \; \ mathbb \ left [x (t) \ cdot x (t + \ tau) \ right] >

(который почти по определению не зависит от t для стационарного процесса).

Теорема Винера-Хинчина настолько тесно связана с определением и использованием спектральной плотности мощности, что некоторые авторы напрямую определяют DSP с помощью преобразования Фурье автокорреляции сигнала. Затем этот подход упрощает теорему Винера-Хинчина.

Еще одна очень широко используемая концепция — это односторонняя спектральная плотность мощности . В самом деле, поскольку x является действительной функцией, ее автокорреляция R _xx является четной действительной функцией, а PSD S _x ( f ) является действительной, положительной и четной функцией. Без потери информации односторонняя спектральная плотность мощности S _x OS ( f ) (OS означает «односторонний») определяется как:

S Икс КОСТЬ ( ж ) знак равно S Икс ( ж ) + S Икс ( — ж ) знак равно 2 S Икс ( ж ) ^ > (f) = S_ (f) + S_ (- f) = 2S_ (f)> для положительного или нулевого f .

Без дополнительных пояснений, когда мы говорим о «спектральной плотности», обычно мы хотим говорить о S _x OS ( f ). Тем не менее некоторые авторы могут говорить о «двусторонней спектральной плотности мощности», не объясняя ее, и следует проявлять максимальную осторожность. В любом случае измеритель, возвращающий оценку PSD с использованием выборки данных, указывает одностороннюю PSD. Это, в частности, относится к анализатору быстрого преобразования Фурье (БПФ), обычно используемому в электронике для оценки DSP.

Чаще всего, чтобы выразить этот односторонний DSP, мы используем логарифмические единицы и выражаем его в [дБ (единица измерения 2 / Гц)], где значение в дБ равно 10 log ₁₀ от значения в «линейных» единицах. . Мы также находим обозначения [дБ (единицы / rtHz)] или [дБ (unit_rms / rtHz)] для той же величины.

Оценка спектральной плотности мощности

На практике любой процесс измеряется в течение конечного времени, и поэтому у нас есть доступ только к конечной выборке данных, соответствующей сигналу. Кроме того, чаще всего имеется доступ только к одной экспериментальной реализации, а для стационарного случайного процесса необходимо использовать эргодическую гипотезу, чтобы вывести из нее поведение на большом количестве экспериментальных реализаций. Следовательно, можно оценить PSD только на основе ограниченной выборки данных. Существует несколько численных методов, все из которых имеют более или менее досадные ошибки, и необходимо будет выбрать наиболее подходящий метод в соответствии с характером записанных данных (регулярная выборка или нет, например . ) и характеристиками DSP. что мы больше всего привержены измерению (приоритет разрешения или точности измерения . ).

Вот неполный список методов, используемых для оценки PSD на основе ограниченной выборки данных:
- на основе периодограммы, рассчитанной с помощью дискретного преобразования Фурье. Это, безусловно, самый классический метод. Требуется регулярный отбор проб. Возможны несколько вариантов ( создание окон , разбиение данных на подсегменты с перекрытием и усреднением или без него и т. Д.). Очень синтетически идея здесь состоит в том, чтобы для одного сигнала, дискретизированного (каждые dt секунд) в течение общего времени T = Nxdt (где N — общее количество доступных выборок), разложить интервал [0, T] на M подмножеств. одинаковых размеров (M должно быть делителем N). Вычисление дискретного преобразования Фурье N / M выборок каждого подмножества дает M периодограмм. Согласно эргодической гипотезе , среднее значение периодограмм M дает хорошую оценку спектральной плотности мощности, когда M стремится к бесконечности, это метод Велча. Техника управления окнами направлена на улучшение оценки, получаемой этим методом, когда количество усредненных периодограмм ограничено. Он заключается в умножении данных каждого из M сегментов на окно аподизации (которое стремится к нулю на левом и правом краях выборки) переменной формы в соответствии с характеристикой DSP, которая нас особенно интересует. Наиболее часто используемые окна (в любом случае в приборах типа анализатора БПФ) — это окна Барлетта, Ханна (или Хеннинга), Хэмминга и Блэкмана-Харриса (или Блэкмана). Кроме того, усреднение также можно улучшить, разбив всю выборку на перекрывающиеся подмножества.
- ARMA
- Multitaper (полезно для уменьшения систематической ошибки оценки, когда количество выборок невелико)
- Спектральный анализ методом наименьших квадратов (LSSA), мы корректируем данные с помощью синусов и косинусов фиксированных частот . полезно, если выборка не регулярная.
- Оценка спектра методом максимизации энтропии (на основе теории цепей Маркова)
Примечания и ссылки
1. ↑« АНАЛИЗ СЛУЧАЙНЫХ СИГНАЛОВ И ИДЕНТИФИКАЦИЯ ЛИНЕЙНЫХ ВИБРАЦИОННЫХ И АКУСТИЧЕСКИХ СИСТЕМ» [PDF] , на upmc.fr , 2014 г. (по состоянию на 16 июня 2019 г. )
Смотрите также

Внутренние ссылки
- Спектральная плотность мощности
- Амплитуда спектральной плотности
Спектральная плотность

В статистической радиотехнике и физике при изучении детерминированных сигналов и случайных процессов широко используется их спектральное представление в виде спектральной плотности, которая базируется на преобразовании Фурье.

Если процесс имеет конечную энергию и квадратично интегрируем (а это нестационарный процесс), то для одной реализации процесса можно определить преобразование Фурье как случайную комплексную функцию частоты:

$X(f)=\int\limits_<-\infty>^ <\infty>x(t)e^ dt. » width=»» height=»» /></td> <td style=$ ((1))

Однако она оказывается почти бесполезной для описания ансамбля. Выходом из этой ситуации является отбрасывание некоторых параметров спектра, а именно спектра фаз, и построении функции, характеризующей распределение энергии процесса по оси частот. Тогда согласно теореме Парсеваля энергия

$E_x=\int\limits_<-\infty>^ <\infty>|x(t)|^2 dt = \int\limits_<-\infty>^ <\infty>|X(f)|^2 df.» width=»» height=»» /></td> <td style=$ ((2))

Функция характеризует, таким образом, распределение энергии реализации по оси частот и называется спектральной плотностью реализации. Усреднив эту функцию по всем реализациям можно получить спектральную плотность процесса.

Перейдем теперь к стационарному в широком смысле центрированному случайному процессу , реализации которого с вероятностью 1 имеют бесконечную энергию и, следовательно, не имеют преобразования Фурье. Спектральная плотность такого процесса может быть найдена на основании теоремы Винера-Хинчина как преобразование Фурье от корреляционной функции:

$S_x(f)=\int\limits_<-\infty>^ <\infty>k_x(\tau)e^ d \tau.» width=»» height=»» /></td> <td style=$ ((3))

Если существует прямое преобразование, то существует и обратное преобразование Фурье, которое по известной определяет $k_x(\tau)$ :

$k_x(\tau)=\int\limits_<-\infty>^ <\infty>S_x(f)e^ df.» width=»» height=»» /></td> <td style=$ ((4))

Если полагать в формулах (3) и (4) соответственно и $\tau=0$ , имеем

$S_x(0)=\int\limits_<-\infty>^ <\infty>k_x(\tau)d \tau,» width=»» height=»» /></td> <td style=$ ((5))

$\sigma_x^2=k_x(0)=\int\limits_<-\infty>^ <\infty>S_x(f)df.» width=»» height=»» /></td> <td style=$ ((6))

Формула (6) с учетом (2) показывает, что дисперсия определяет полную энергию стационарного случайного процесса, которая равна площади под кривой спектральной плотности. Размерную величину можно трактовать как долю энергии, сосредоточенную в малом интервале частот от до . Если понимать под случайный (флуктуационный) ток или напряжение, то величина будет иметь размерность энергии [В 2 /Гц] = [В 2 с]. Поэтому иногда называют энергетическим спектром. В литературе часто можно встретить другую интерпретацию: $\sigma_x^2$ – рассматривается как средняя мощность, выделяемая током или напряжением на сопротивлении 1 Ом. При этом величину называют спектром мощности случайного процесса.

Свойства спектральной плотности
- Энергетический спектр стационарного процесса (вещественного или комплексного) – неотрицательная величина:
$S_x(f) \ge 0$ . ((7))
- Энергетический спектр вещественного стационарного в широком смысле случайного процесса есть действительная и четная функция частоты:
. ((8))
- Корреляционная функция $k_x(\tau)$ и энергетический спектр стационарного в широком смысле случайного процесса обладают всеми свойствами, характерными для пары взаимных преобразований Фурье. В частности, чем «шире» спектр тем «уже» корреляционная функция $k_x(\tau)$ , и наоборот. Этот результат количественно выражается в виде принципа или соотношения неопределенности.
См. также
- Преобразование Фурье
- Теорема Парсеваля
- Теорема Хинчина-Колмогорова
- Спектральная плотность мощности
- Спектральная плотность излучения
Литература
1. Зюко, А. Г. Теория передачи сигналов / А. Г. Зюко [и др.]. — М .: Связь, 1980. — 288 с.
2. Тихонов, В. И. Статистический анализ и синтез радиотехнических устройств и систем / В. И. Тихонов, В. Н. Харисов. — М .: Радио и связь, 2004. — 608 с. — ISBN 5-256-01701-2
3. Тихонов, В. И. Статистическая теория радиотехнических устройств / В. И. Тихонов, Ю. Н. Бакаев. — М .: Академия им. проф. Н. Е. Жуковского, 1978. — 420 с.
- Обработка сигналов
- Преобразование Фурье
Wikimedia Foundation . 2010 .
Похожие публикации: